Нелинейная модель механики изонатяжения вантовых конструкций

Процесс натяжения ванты выполняется при помощи гидравлического домкрата и заключается в поочередном натяжении прядей согласно методу изонатяжения [2]. Изонатяжение представляет собой способ натяжения, при котором с одной стороны удается достичь целевого усилия в ванте по проекту, а с другой – обеспечить равномерное распределение усилий между всеми прядями после окончания процедуры монтажа. Для реализации метода изонатяжения первую прядь во время монтажа оснащают датчиком силы, с помощью которого контролируют фактический уровень ее натяжения. После чего каждую новую прядь натягивают до состояния, когда создаваемое домкратом усилие сравняется с величиной натяжения первой пряди.

Использование метода изонатяжения на практике требует точного подхода к определению усилия натяжения первой пряди. В виду конечной жесткости пилона и балки, в процессе натяжения каждой новой пряди происходит смещение опор ванты. Изменение расстояния между точками крепления ванты приводит к снижению усилий в ранее смонтированных прядях. При этом описанный процесс имеет существенно нелинейных характер. Таким образом, достижение целевого состояния ванты при условии равенства усилий натяжения прядей не представляется возможным без расчетного анализа их равновесного состояния на стадии монтажа каждой из прядей.

На сегодняшний день в литературе предложено большое количество методов расчета равновесного состояния элементов типа «трос» в различных постановках, основанных на теории абсолютно гибкой нити и методе конечных элементов (МКЭ). Первые работы с использованием численных методов показали, что для анализа вантовых систем не применимы линейные стержневые и балочные конечные элементы (КЭ). Например, авторы работы [3] отмечают, что классический линейный балочный КЭ не позволяет учесть эффект провисания троса и приводит к нефизичным результатам. В работе [4] был предложен модифицированный стержневой КЭ, учитывающий эффект провисания, для определения равновесного состояния троса. Результаты работы показали, что решение задачи требует учета больших перемещений и их нелинейной связи с силой натяжения. В работе [5] рассматривается применение нелинейного конечного элемента типа «трос» для моделирования поведения вант. Авторы используют упрощенную математическую модель ванты, обладающую рядом недостатков и приводящую к погрешностям расчета. В частности, если в системе возникают большие горизонтальные смещения опор, модель может плохо описывать равновесное состояние. Кроме того, описанная модель не позволяет учитывать распределенные на части длины и сосредоточенные нагрузки, которые могут действовать на ванту. Работа [6] посвящена определению силы натяжения в вантах, обеспечивающих заданную форму пролетного строения в равновесном состоянии. В статье не рассматривается отдельно вопрос равновесной конфигурации ванты, ее геометрия принимается прямой без учета провисания. В работе также не рассматривается процесс монтажа и натяжения ванты. В работе [7] рассматривается нелинейная формулировка конечного элемента ванты. В математической модели используется ряд допущений, что позволяет получить достаточно простую матрицу жесткости, но приводит к ограниченности применения такого элемента. Авторы показывают, что при небольшом провисании, элемент достаточно точно описывает равновесное состояние, но в конструкциях с большим провисанием результаты теряют точность.

Конечный элемент на основе точного аналитического уравнения растяжимой цепной линии рассматривается в работе [8]. Авторы приводят алгоритм для определения равновесного состояния гибкого троса, а также формулу для касательной матрицы жесткости. В работе проведено сравнение результатов расчета с применением данного КЭ с результатами других авторов. В отличие от ранее описанных КЭ, у приведенного авторами элемента нет ограничений на степень провисания ванты.

В работе [9] рассматривается конечный элемент, подобный элементу из работы [8], но с рядом модификаций, который позволяет учитывать распределенную нагрузку, приложенную не в плоскости провисания ванты, а также температурные деформации.

Приведенные выше методы решения основывались на численных итерационных процедурах, однако не теряют актуальность и аналитические методы расчета, основанные на теории абсолютно гибкой нити [10]. Эффективный инструмент для анализа равновесного состояния ванты предложен в работе [11]. Авторами разработана методика, основанная на разложении функции формы гибкой нити и внешней нагрузки в тригонометрические ряды с последующим преобразованием дифференциального уравнения равновесия. Однако, ввиду ограничения на пологость вант, описанный метод не применим для задачи изонатяжения.

Обзор открытых источников показывает, что несмотря на высокую степень проработки методов анализа равновесного состояния гибкого троса, вопрос расчета параметров последовательного изонатяжения прядей вант недостаточно освещен. Задачу в такой постановке рассматривают авторы работы [2]. Для определения равновесного состояния на каждом этапе монтажа используется упрощенная модель ванты, позволяющая учитывать смещения опор и собственный вес ванты. Монтажные нагрузки в предложенном авторами подходе не учитываются.

Цель настоящей работы состоит в описании общего подхода для решения задачи изонатяжения вант в нелинейной постановке, построенного на основе МКЭ и позволяющего учесть монтажные нагрузки, большие перемещения и податливость опор.

В качестве исходных данных для расчета параметров изонатяжения используется информация о целевом состоянии: координаты точек крепления ванты ((X_N^t, Y_N^t, Z_N^t); (X_K^t, Y_K^t, Z_K^t)) и модуле силы натяжения (T^t) в одной из опор, полученные по результатам проектного расчета. Под целевым состоянием понимается равновесное состояние ванты после натяжения всех ее прядей и снятия монтажных нагрузок (рисунок 2).

Помимо целевого состояния ванты известны монтажные нагрузки, представляющие собой систему распределенных (q_mⁱ) и сосредоточенных сил (F_mⁱ), действующих в плоскости провисания прядей в процессе натяжения, фактическое положение опор до начала установки первой пряди ((X_N⁰, Y_N⁰, Z_N⁰); (X_K⁰, Y_K⁰, Z_K⁰)), и параметры прядей: модуль Юнга (E), площадь поперечного сечения (A₀) и количество прядей в ванте (n). Таким образом, общую расчетную схему задачи изонатяжения можно представить в виде, показанном на рисунке 3.

В качестве математической модели в силу необходимости учета геометрической нелинейности используется модель конечного элемента типа «трос», основанная на точном аналитическом решении упругой цепной линии [8]. Согласно этой модели, КЭ типа «трос» представляет собой абсолютно гибкий двухузловой элемент (рисунок 4), для которого [8]:
1) Поперечное сечение не изменяется в процессе деформирования;
2) В поперечном сечении возникает только нормальная сила;
3) В недеформированном состоянии элемент обладает собственной погонной массой интенсивностью q₀. Закон сохранения массы при растяжении элемента обеспечивается за счет соответствующего изменения интенсивности q₀.

Применяемая математическая модель гибкой нити, позволяет свести задачу определения параметров равновесия ванты в целевом состоянии к итерационной процедуре расчета недеформированной длины прядей L₀ [8], представленных в виде одного КЭ с приведенной площадью поперечного сечения. Для организации итерационной процедуры используется варьирование вектора, содержащего компоненты реакций в опоре «I» и недеформированную длину ванты, согласно соотношению (1) [8]:

Стоит отметить, что на приведенных в настоящем разделе стадиях расчета равновесного состояния необходимо учитывать дополнительное упругое перемещение опор под действием изменяющейся силы натяжения ванты, используя компоненты жесткости (3).

Таким образом, описанный в настоящем разделе алгоритм позволяет определить силу натяжения первой пряди, необходимую для достижения целевого состояния ванты при использовании метода изонатяжения.

Описанный в настоящей работе алгоритм изонатяжения прошел апробацию при возведении вантового моста через р. Оку на скоростной автомобильной дороге М-12 в г. Муроме. (рисунок 8). В рамках сопровождения монтажа вантовой системы специалистами ООО «СТС» выполнен комплекс инженерных расчетов по определению параметров изонатяжения каждой из вант. В расчетах учтены фактические значения монтажных нагрузок и их положение по длине вант, фактический модуль Юнга прядей каждой из вант. Начальное положение опор каждой ванты до начала монтажа определено по результатам геодезической съемки опорных плит на балке жесткости и в пилоне.

Вантовая система моста состоит из 34 пар вант, количество прядей в которых варьируется от 9 до 60 штук. Общее количество смонтированных и поочередно натянутых прядей – 2180 шт, а общая длина – более 198 км. Поскольку алгоритм изонатяжения является общим для всех вант, в работе подробно рассмотрены результаты расчета усилия натяжения первой пряди для одной из вант, параметры которой приведены в таблицах 1 и 2.

При расчете параметров изонатяжения ванты в зависимости от этапа натяжения (номера устанавливаемой пряди) учитывались следующие монтажные нагрузки (таблица 3): вантовая труба, антивандальная труба, переходная труба, верхняя и нижняя трубы девиатора, верхний и нижний хомут, вес направляющей трубы. Начало и конец действия монтажных нагрузок отсчитывается от опоры ванты, расположенной на балке моста, и задаются вдоль хорды в плоскости провисания прядей.

Результаты расчета усилий натяжения каждой пряди рассматриваемой ванты показаны на рисунке 9.

Полученное значение усилия натяжения первой пряди использовалось при монтаже ванты на объекте. По результатам монтажа отличие фактического усилия натяжения прядей от проектного в целевом состоянии ванты составило не более 2%. Дополнительно, в таблице 4 приведены фактические усилия натяжения нескольких вант, монтаж которых выполнен по результатам расчета параметров изонатяжения описанным в статье алгоритмом.

Представленные в таблице 4 результаты показывают, что приведенный в настоящей статье алгоритм расчета параметров изонатяжения позволяет с высокой точностью определить усилие натяжения первой пряди, необходимое для достижения целевого проектного усилия натяжения всей ванты после монтажа.

В работе приведен алгоритм расчета параметров изонатяжения вант в нелинейной постановке, построенный на основе метода конечных элементов и позволяющий учесть влияние монтажных нагрузок, больших перемещений и податливость анкерных опор на равновесное состояние прядей. Практическая ценность описанного алгоритма состоит в возможности определения усилия натяжения первой пряди, обеспечивающего достижение заданного целевого усилия в ванте после монтажа. Для подтверждения корректности работы алгоритма проведена его экспериментальная апробация при монтаже вантовой системы на мосту через реку Оку на трассе М-12 в г. Муроме. Рассчитанные с помощью алгоритма усилия натяжения первых прядей вант позволили достичь требуемого результата с погрешностью не более 2%.